En este post quiero hablarle sobre un tema que me ha fascinado desde el primer momento que lo comencé a estudiar, y se trata de los fractales.
In this post I want to talk about a subject that has fascinated me from the first moment I began to study it, and it is about fractals.
¿Qué es un fractal?
What is a fractal?
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). .
The expression fractal comes from the Latin fractus, which means fractured, broken, irregular. The expression and the concept are attributed to the mathematician Benoit B. Mandelbrot, and appeared as such in the late seventies and early eighties (Mandelbrot, 1977 and 1982).
Conjunto de Mandelbrot
fuente
Características de los fractales
Autosemejanza
La autosemejanza es cuando una porción, de una figura o de un contorno, puede ser vista como una réplica del todo, en una escala menor.
Complejidad infinita
Se refiere al hecho de que el proceso de formación de un figura es recursiva. Esto significa que, cuando se ejecuta un determinado procedimiento, en el trascurso de la misma se encuentra como subprocedimiento el propio procedimiento anteriormente ejecutado.
Vale destacar que, en el caso de la construcción iterativa de un fractal matemáticamente definido, se dispone de un número infinito de procedimientos a ser ejecutados, generándose así una estructura infinitamente compleja.
The main properties that characterize fractals are self-similarity, infinite complexity and dimension.
Self-similarity
Self-similarity is when a portion, of a figure or outline, can be seen as a replica of the whole, on a smaller scale.
Infinite complexity
Refers to the fact that the process of forming a figure is recursive. This means that, when a certain procedure is executed, in the course of it, the previously executed procedure itself is found as a subprocedure.
It is worth noting that, in the case of the iterative construction of a mathematically defined fractal, there is an infinite number of procedures to be executed, thus generating an infinitely complex structure.
fuenteDimensión
La dimensión de un fractal, a diferencia de lo que ocurre en la Geometría Euclidiana, no es necesariamente un valor entero. En esta rama de la matemática, un punto posee dimensión cero, una línea posee dimensión uno, una superficie dimensión dos y un volumen dimensión tres. En el caso de la dimensión fractal, esta es una cantidad fraccionaria, representando el grado de ocupación de la estructura en el espacio que la contiene.
Dimension
The dimension of a fractal, unlike in Euclidean Geometry, is not necessarily an integer value. In this branch of mathematics, a point has dimension zero, a line has dimension one, a surface has dimension two and a volume has dimension three. In the case of the fractal dimension, this is a fractional quantity, representing the degree of occupation of the structure in the space that contains it.
Ejemplos de fractales:
El conjunto de Cantor, llamado así por ser aporte de Georg Cantor en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1].
The first fractals studied were the Cantor set, Koch snowflakes and the Sierpinski triangle.
The Cantor set, named after Georg Cantor's contribution in 1883, is a prominent fractal subset of the real interval [0, 1].
fuenteCopos de nieve de Koch
En 1904 Helge von Koch identificó un fractal que parecía responder al modelo de un copo de nieve. El fractal se construye con un triángulo equilátero; sobre el tercio medio de cada lado se construye otro triángulo equilátero, y se repite el proceso indefinidamente. A continuación se muestra claramente el proceso con el triángulo original en la fase 0 y las figuras resultantes tras una, dos y tres iteraciones.
Koch's snowflakes
In 1904 Helge von Koch identified a fractal that seemed to respond to the model of a snowflake. The fractal is constructed with an equilateral triangle; on the middle third of each side another equilateral triangle is constructed, and the process is repeated indefinitely. The process is clearly shown below with the original triangle at stage 0 and the resulting figures after one, two and three iterations.
fuenteTriángulo de Sierpinski:es un conjunto fractal que se construye de manera recurrente como se indica a continuación: se toma un triángulo equilátero ‘lleno’, S0, al que se le quita el pequeño triángulo formado al unir las mitades de sus tres lados (ver la figura 4). Obtenemos S1 formado por tres triángulos ‘llenos’ sobre los cuales se realiza el mismo proceso que acabamos de describir. Logramos así una figura formada por nueve triángulos llenos, S2, a los que se les vuelve a aplicar el mismo procedimiento.
Sierpinski triangle: it is a fractal set that is constructed in a recurring manner as follows: we take a 'full' equilateral triangle, S0, from which we remove the small triangle formed by joining the halves of its three sides (see figure 4). We obtain S1 formed by three 'full' triangles on which the same process we have just described is performed. We thus obtain a figure formed by nine full triangles, S2, to which the same procedure is applied again.
fuente Los Fractales en la vida cotidiana y naturaleza
Continuamente en nuestras vidas nos encontramos con fractales sin darle la menor importancia. Algunos ejemplos son:
coliflor
fuente
Girasol
Caparazón del caracol
fuente
Tentaculos de pulpos
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Ojo Humano
Copo de nieve
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Con mis estudiantes tuve la oportunidad de elaborar el triángulo de Sierpinski con hojas de reciclajes y me sorprendieron con su creatividad:
With my students I had the opportunity to elaborate Sierpinski's triangle with recycled leaves and they surprised me with their creativity:
Foto tomada con mi celular redmi 9
Photo taken with my redmi 9 cell phone
Foto tomada con mi celular redmi 9
Photo taken with my redmi 9 cell phone
Este es sin duda un tema complejo pero interesante y muy bello, espero que esta introduccion al maravilloso mundo de los fractales les despierte el deseo de conocer más de ello.
Espero que les haya gustado, nos leemos pronto
This is undoubtedly a complex but interesting and very beautiful topic, I hope this introduction to the wonderful world of fractals awakens your desire to learn more about it.
I hope you liked it, see you soon.
Mandelbrot, B. La Geometría Fractal de la naturaleza. Barcelona: Tusquets
Editores, S. A., 1983. (LIBRUNAM: QA447 M3418)
Bilski E. (S.F.). Características de los Fractales. Disponible en: link
El conjunto de Cantor | Investigación y Ciencia: link
Créditos
Credits
- La foto de portada fue elaborada en canva partir de la siguiente imagen fuente
The cover photo was made in canva from the following source image
- los separadores fueron elaborados en cavas
the separators were elaborated in cavas
